磁性格子的能级，藏在相反自旋的边界上

把24个只能朝上或朝下的自旋摆成一个小格子，会有一千六百多万种排列。可在一种周期连接方式下，这些排列的能量只分成23档。为何绝大多数排列会落在相同的能量上，又为何某些看似允许的能量始终空着？格物的研究员把目光从自旋转向连接它们的边：相反自旋之间的连接，既能给能量分类，也能解释能谱中的空缺。一个庞大的计数问题，由此显露出可以逐步推理的结构。

排列有多少，和能量有几种，是两回事

想象一张方格纸，每个交点上放一支小箭头。箭头只有朝上和朝下两种取向，邻近的箭头彼此相互作用。如果同向的邻居比反向的邻居能量更低，整个系统便倾向于排成同一方向。这就是伊辛模型描述铁磁性的基本方式。这里的箭头表示自旋的一种简化取值，不是说真实材料中的电子就是一支能够随意转动的小磁针。

本文讨论的是一个有限的格子，而且每条邻居连接的相互作用强度完全相同。暂时也不施加外磁场，因此朝上和朝下没有谁先天更占优势。有多少个格点，就有多少次二选一：若格点数是$N$，全部排列共有$2^N$种。

但给每个格点的箭头换个方向，并不一定改变总能量。许多不同排列会有相同的能量，这种重复称为简并；同一能量对应的排列数，就是它的简并度。这里的“能级”指这些经典排列能够取到的不同总能量，不是原子的量子跃迁阶梯。

为什么要费力数这些重复？因为热平衡并非只挑能量最低的排列。温度不为零时，较高能量的排列也可能出现；同一能量若对应很多种排列，合起来便可能占据可观的概率。只知道哪个排列最省能量，无法知道系统加热后怎样变化。完整的能量分类及其简并度，把“每种排列有多容易出现”和“这样的排列有多少种”分开，之后便可以按不同温度重新加权。

Rong Qiang Wei在2018年的一篇预印本中讨论有限伊辛模型的配分函数，也就是把全部排列按热平衡权重加起来的总和。他在一个24点例子中报告，一千六百多万项里只有23种不同的指数值，仍留下如何确定每种值重复多少次的问题。原预印本

格物的研究员这次追问的是这个总和背后的连接结构。对一类两个方向都首尾相接、边长都是偶数且至少为四的二维方格，他们证明：零场下的能级数恰好是$N-1$。这个结论不需要把$2^N$种排列逐个列出来。关键是先看清，能量究竟记住了排列的什么信息。

把相反的邻居找出来

一条连接只有两种情况：两端同向，或两端反向。设每条同向连接贡献的能量为$-J$，反向连接贡献$+J$，其中$J>0$是统一的相互作用强度。把同向改成反向，就多付出$2J$的能量。

若总连接数为$q$，其中反向连接有$u$条，总能量便是

$$\mathcal{E}=-Jq+2Ju.$$

这里的$\mathcal{E}$是整套排列的能量。第一项是所有箭头同向时的能量，第二项是反向连接带来的额外代价。因此，只要$q$和$J$固定，知道$u$就知道能量；不同的$u$也对应不同的能量。

把所有朝下的格点归到一组，剩下的朝上格点归到另一组。反向连接正好就是跨越两组的边。数学上，把连接图的顶点分成两组，再收集横跨两组的边，称为一个“割”；这些边的条数叫割的大小。这里的边界不必在空间里形成一条光滑轮廓，它指的就是这些跨组连接。

于是，物理中的能级问题变成了两个图论问题：这个连接图能产生哪些割的大小？每种大小又能由多少种分组产生？朝下的一组唯一确定一套自旋排列，所以这次转换没有丢掉任何排列。

图1说明，光数朝下点有多少还不够。两个内部格点若彼此分离，各自有四条反向连接，总计八条；若它们相邻，共同的那条连接两端都朝下，便不计入边界，总计只有六条。点数没有变，连接的关系却改变了能量。

这也给出了一个实用的计数办法：先把朝下点接出的所有边加起来，再减掉内部连接被算进去的部分。每条内部连接会从两端各被数一次，所以要减去两次。全部能谱的结构，就能从这件简单的事开始推导。

为什么有些能量永远空着

现在把方格的左边接回右边，上边接回下边。跨过一侧便从另一侧回来，这称为周期边界。它规定的是谁和谁相连，并不要求真的把磁性材料弯成一个环面。

先考虑每边至少四个点的周期方格，每个点都有四条邻居连接。若朝下点有$n$个，它们接出的边总计是$4n$条；若其中有$e$条内部连接，反向连接数就是

$$u=4n-2e.$$

$n$和$e$都是整数，因此$u$必定是偶数。能量看似可以随着反向连接一条条增加，实际上，一切奇数条反向连接都不可能出现。

偶数也不是全部能出现。所有箭头同向时，$u=0$；只翻转一个点时，$u=4$。这个周期方格的连接结构保证，只要两种取向都存在，两组之间至少有四条边。因此$u=2$也被排除了。直观地说，封闭的一行或一列要从一组走进另一组，就必须再走回来；如果边界在两个方向都有变化，每个方向至少贡献两条跨组边。如果它只沿一个方向变化，就必须横贯整个格子，所需连接也不会少于四条。

当两个边长都是偶数时，还能把格点像棋盘那样交替染成两色，每条连接都跨越两色。对任意一套自旋排列，只翻转其中一种棋盘颜色上的箭头：每条连接便恰好只翻转一端。原先同向的变反向，反向的变同向，因此$u$变成$q-u$。

做两次这种翻转，就回到原排列。于是它不仅把能级两两对应，也把对应能级上的排列一一配对：有几种排列产生$u$条反向连接，就有几种产生$q-u$条。零场能谱的两端形成镜像。既然两条反向连接不可能出现，距离全反向仅差两条的情况也不可能出现。

例如，四乘四周期方格有16个点、32条连接。反向连接数可以是零，也可以是全部32条，却不能是两条或30条。奇数条同样被排除。不过，到这里还差最关键的一步：其余偶数是不是全都能出现？知道哪里必须空着，不等于知道哪里一定有排列。

用短段填满中间的能谱

格物的研究员用一个能直接画出来的构造回答了这个问题。

先让箭头全部朝上，再在一行中翻转一段连续的箭头，长度为$k$，但不占满整行。它的两端各有一条反向连接；段中每个点还向上一行、下一行各贡献一条。因此，这段箭头产生的反向连接数是$2k+2$。一个点产生四条，两个点产生六条，三个点产生八条……改变段长，就能按偶数步长改变能量。

如果还不够，就在另一条与它不相邻的行里放第二段。两段之间没有直接连接，边界的条数便可以相加。每隔一行选一行，既避免短段相互接触，又能放下足够多的短段。

以图2的六乘四格子为例，只用一条短段，能得到四、六、八、十、十二条反向连接。两条隔行短段的总数可以从八条一直取到24条，仍然每次增加两条。这两段取值范围接在一起，便覆盖了四至24之间的所有偶数。

同样的思路适用于两个边长都为偶数、且至少为四的周期方格。增加短段数量时，可实现的偶数范围互相衔接，一直覆盖到全部连接的一半。再翻转一种棋盘颜色，就把这半边的排列送到另一半。全同向和全反向则补上两个端点。

因此，允许的$u$就是从零到$q$的所有偶数，唯独去掉两条和$q-2$条。这个格子每点有四条边，一条边被两端共享，总连接数是$q=2N$。从零数到$2N$共有$N+1$个偶数，再去掉两个空缺，剩下的正是$N-1$个能级。四乘四格子的15个能级，六乘四格子的23个能级，都从同一套理由得出。

这不是从小格子的数表猜出的规律。短段构造提供了实际排列，镜像翻转补全了另一半，而奇偶性和最少四条边的限制说明，没有别的能级被遗漏。

24个点，未必意味着同一个模型

现在可以回到开头那个看似三维的24点例子：两个方向各长两点，另一个方向长六点，也就是$2\times6\times2$。

长度只有两点时，周期边界有一个必须说清的约定：从某个点沿一个方向往前、往后，都会遇到同一个邻居。这对点之间究竟算一条连接，还是算两条？在长度较大的格子里无需面对的歧义，在这里会直接改变能量计算。

若同一对点只算一条连接，两条长度为二的方向组成的横截面，恰好是四个点连成的一个四边形。沿长六点的方向，把这样的四边形首尾连接起来，就得到了与四乘六周期方格相同的连接图。点可以重新编号、重新摆放，但邻居关系逐条保持不变。

既然能量只看连接关系，这两个看起来维数不同的格子，便拥有相同的能谱，甚至相同的完整简并度计数。23由此得到解释：它继承的是24点周期方格的$N-1$规律，而非“三维”这个名称独有的性质。

若沿长度二的周期方向把连接算两次，模型便换了。论文对同样24个点的精确计算给出33个零场能级，而不是23个。原预印本已说明使用周期边界，但仅有这几个字还不足以确定长度二方向的连接如何计数。这篇研究在比较的约定中复现了23，也说明引用有限格子的能级数时，为什么需要同时说明连接规则。

看见哪些能量，比数清所有重复更容易

从连接结构推出能级数，并不等于已经数出了每个能级上的全部排列。短段构造保证“至少存在一种”，却没有列出所有可能的形状和位置。二维以上的简并度，在这篇研究中仍没有一般的闭式公式。

为了计算它们，格物的研究员把格子一层层向前推进：记录当前层的取向，以及已经积累的连接和磁化信息，再把新一层接上。相同的中间情况可以合并，不必把整块格子的排列全部展开。如果只想知道某个能量是否存在，连排列数都可以省去，只保存“能达到”或“不能达到”。

这个区别使论文中的精确计算延伸到千点细长格子。例如，千点环有501个零场能级。它有$2^{1000}$种排列，但确定哪些连接数能够出现，并不需要逐个访问这些排列。省掉计数也避开了固定长度整数存储巨大简并度的问题；这不是说大整数在数学上无法表示。

困难仍在格子的宽度。每层越宽，需要处理的取向组合越多，算法的代价仍随截面大小指数增长。因此，“做到一千点”不是说任意形状的一千点格子都能轻易处理。

能级数的简单公式也有边界。偶数周期方格的中间没有空缺，已经由构造证明；更一般的格子不能直接沿用这个结论。论文报告的94个格子中，有两个在中间仍然缺少能级。其中一个24点格子有45个能级，而假定中间全满的公式会给出49个。这些空缺与小片点集内部能容纳多少连接有关，不能仅靠奇偶性和谱的两端推断出来。

外磁场则带来另一种变化。磁场会偏爱一个取向，总能量还要加上$-hM$：$h$表示均匀外场的能量尺度，$M$是朝上点数减去朝下点数。此时，反向连接数相同的排列，也可能因为$M$不同而分开；不同的两项组合，又可能在特定参数下恰好重合。论文保存连接计数与磁化的联合表，才能在不同外场下重新计算，而不能把零场的23直接当作有场答案。

这项工作的收获，是把“指数多种排列”拆成了两个不同难度的问题。能量可以取哪些值，往往能由连接结构先行确定；每种值有多少排列，仍需要更细的计数。开头的一千六百多万种排列没有消失。改变的是，我们知道该先看什么：朝上与朝下之间，究竟有多少条边。

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研究来源：本文所据论文，Exact level structure of finite uniform Ising lattices: the density of states is a cut-size spectrum，2026年9月7日；重点依据第5.1—5.9节及第8节。图片均为本文原创程序绘图，源码见sources/draw_figures.py。