随机量子测量，为什么不相容的略少于四分之一？

面对同一个量子比特，我们可以选择两种测量方式，每种都只回答“是”或“否”。能否造出第三种装置，只测一次，再从记录中分别读出前两种装置本该给出的统计？量子理论有时禁止这种安排。过去的数值计算暗示，随机选出的测量对恰有四分之一做不到；格物的研究员如今证明，真实比例略低于这个整齐的分数，而差别背后藏着测量方向、模糊程度与结果偏置共同划出的边界。

一份记录，能回答几个问题？

温度计和气压计可以各自留下读数，把两份数据记在同一张表上，并不奇怪。量子系统却会使“把两种测量合在一起”成为真正的物理问题。

以电子的自旋为例。自旋是电子的一种内在量子性质，沿选定方向测量时，只会得到两个结果，通常称为“向上”和“向下”。沿竖直方向测量，和沿水平方向测量，是对同一系统提出的不同问题。两种理想测量无法由一次共同测量完整替代。

这里的“替代”有严格含义。设两种测量都只有“是”和“否”两个输出。共同装置可以输出四类记录：“是、是”“是、否”“否、是”“否、否”。只看每条记录的第一个答案，所得统计应与第一种测量相同；只看第二个答案，则应恢复第二种测量。这个要求必须对所有可能送入装置的量子态成立，而不能只适用于某一种特意准备的状态。

如果存在这样的共同装置，两种测量就称为“相容”；找不到任何这样的装置，它们就是“不相容”的。它不要求在同一个电子上先做完第一种测量，再做第二种测量，而是问：是否存在另一种物理测量，能一次提供足以恢复两者统计的信息？

这一区别为什么值得计数？如果两种测量相容，选择测量方式就可以推迟到拿到共同记录之后：换一种分组即可。如果它们不相容，测量选择便不能被这种读记录的办法替代。在量子信息研究中，不相容性因此成为一种资源；它能支持某些利用量子关联或辨认量子态的任务。不过，拥有这项资源，并不等于任意装置组合、任意实验都能自动获得优势。

而理想的自旋测量只占所有测量中的一小部分。实际可考虑的装置还可以有噪声、读得不那么清楚，甚至偏爱某个输出。这些变化会让原本不相容的测量变得相容。因此，“随机挑两种测量，多大概率不相容”，不能靠两个理想测量的例子来回答。

“随机”必须先有边界

量子比特是最简单的量子信息单元，电子自旋或光子的偏振都能承载它。对于量子比特，一种只有两个结果的测量，可以用一个实数和一支三维箭头描述。

箭头的方向指定测量所区分的量子态方向；箭头的长度表示测量对这些差异有多敏感，通常称为“锐度”。在没有结果偏置时，长度达到最大值对应理想测量；缩短箭头，两个结果就更难透露输入态的差别。箭头为零时，装置输出的概率完全不依赖输入态，等同于抛一枚可能不均匀的硬币。

那个额外的实数则描述结果偏置。把正负标签选定后，记它为 $a_0$，范围从 $-1$ 到 $1$。当输入是完全混合态——可以理解为没有偏向任何方向的量子态——两种输出的概率分别为 $(1-a_0)/2$ 和 $(1+a_0)/2$。所以 $a_0=0$ 称为无偏；它并不意味着对每一种输入态，装置都给出等概率答案。

这些参数不能随意搭配。若把箭头记为 $\mathbf{a}$，合法测量必须满足

$$\|\mathbf{a}\|\leq 1-|a_0|$$

这里 $\|\mathbf{a}\|$ 是箭头长度，$|a_0|$ 是偏置的大小。偏置越大，箭头可达到的最大长度越小。固定一个偏置后，所有允许的箭头填满一个三维球；偏置趋近两端时，球便缩成一个点，装置只会给出同一个答案。

这项研究把实数和箭头的三个分量一起看作四维坐标，在整个合法区域内按普通欧氏体积均匀抽样，再独立抽取第二种测量。所谓“均匀”，是相同大小的四维小块有相同的入选机会。它不等于先均匀挑一个偏置，再均匀挑一支箭头：偏置越靠近两端，允许的球体积越小，在整体抽样中就越少见。

有了这一约定，问题才有唯一的数值答案。若只从无偏测量中抽样，Lin Zhang、Hua Xiang、Xianqing Li-Jost 和 Shao-Ming Fei 在2019年的研究已求得，不相容概率为 $3/5$。允许偏置变化后，他们的数值计算给出了接近 $1/4$ 的结果，并提出它恰好等于 $1/4$ 的猜想。原始研究

格物的研究员在本次论文中证明，在同一种完整参数域的抽样下，精确概率其实是

$$P_{\mathrm{inc}}=\frac{2}{5}-\frac{8\pi^2}{525} \approx 0.2496060282$$

$P_{\mathrm{inc}}$ 表示随机测量对不相容的概率。它比四分之一少约 $0.0394$ 个百分点：若抽取一万对，平均约有2496对不相容，而非2500对。这是概率的换算，不是一万次实验的观测结果。

如此微小的差距，靠增加小数位并不足以解释。真正的问题是：怎样把全部测量对都算进去，并证明没有漏掉一小片区域？

把八个参数，变成一道角度窗口

两种测量各有四个参数，合在一起就是八维。已有的相容性判据能够判断某一对测量，却不直接告诉人们：满足或不满足判据的区域，究竟占多大体积。

先去掉一个无关的复杂性：把两支箭头一起旋转，不会改变它们是否相容。绝对朝向不重要，重要的是两者的相对夹角。于是，在偏置与箭头长度固定后，只需问：哪些夹角会造成不相容？

无偏测量提供了一个直观例子。取两支长度都为最大值八成的箭头。两支箭头重合时，两种测量相同，自然相容；转到直角时，它们却不相容。继续转到方向相反，答案标签互换后又相当于同一种测量，于是重新相容。换言之，不相容只占中间的一段角度。

随机方向也并非每一个夹角都等可能：球面上接近直角的方向更多。一个便于计算的事实是，若两支箭头的方向各自在球面上均匀分布，它们夹角的余弦便在 $-1$ 到 $1$ 之间均匀分布。余弦可以理解为两个方向的对齐程度：同向时为 $1$，垂直时为 $0$，反向时为 $-1$。因此，不相容概率就能由这根“对齐程度”标尺上，窗口所占的长度来计算。

有偏置时，窗口通常会偏离标尺中央，连窗口是否存在也取决于其余参数。格物的研究员所做的关键整理，是换用一组同时编码偏置和锐度的坐标，让判据中的复杂平方根简化。在新坐标中，允许出现不相容性的区域由一个简单的圆弧条件界定；区域以外，任何夹角都相容；区域以内，再用窗口宽度给每组参数加权。

这样，原来的八维体积就化成了四重积分：所有方向的贡献已经被窗口宽度吸收。剩下的任务，是把不同偏置、不同锐度的窗口，按原抽样的体积权重加总。重新参数化没有改变抽样，也没有把难算的测量丢掉，只是使边界和权重变得能够精确处理。论文再把这个积分归并成一维积分，通过可逐项求导核验的表达式求出端点值，得到含有 $\pi^2$ 的答案。

还有一条更短的检查，足以排除四分之一。论文把同一个概率写成一个起始值，减去一连串严格为正的修正项。起始值约为 $0.270899$；减掉第一项后，仍约为 $0.251198$；减掉第二项后，就已降至

$$\frac{5910272}{23648625}<\frac{1}{4}$$

后面还有正数要减，所以最终值只会更小。这一步完全可以用分数运算完成，无须信任浮点积分的最后几位。几何形状负责确定“该数哪些测量”，这样的上界则保证：答案接近四分之一，绝不等于四分之一。

偏向一个答案，如何抹掉不相容性

总概率把整个测量集合压成了一个数，却还没有回答：哪些测量最容易失去不相容性？

设两种测量的偏置大小分别为 $u$ 和 $v$，都在 $0$ 与 $1$ 之间。固定这两个值后，再在各自允许的箭头球内均匀抽样，得到条件概率 $p(u,v)$。格物的研究员证明，它随着任一偏置增大都不会增加，并且有一道准确的边界：

$$u+v\geq1\quad\Longrightarrow\quad p(u,v)=0$$

这个结论有一个可以实际操作的解释。先从无偏的二结果测量出发，保留它原来的物理过程，但修改读数规则：每当装置报告“是”，就以概率 $u$ 把它改成“否”；原本的“否”保持不变。这样得到的测量偏置大小恰为 $u$，箭头也缩短为原来的 $1-u$。改变偏置符号，只需交换输出标签。因而，在允许范围内的任一种有偏测量，都能以这种方式从某种无偏测量得到。

如果两种原始测量本来已有共同记录，修改两份答案也可以直接在共同记录上进行。一个已经相容的测量对，不会因为改写答案而变得不相容。把同一批无偏测量这样逐步改写，还恰好得到各偏置截面上的均匀样本；这就解释了条件概率为何单调下降。

更有意思的是，当 $u+v\geq1$ 时，可以直接造出一个共同装置。让装置以概率 $1-u$ 执行第一种原始测量，并把答案记为“第一种的结果、否”；以概率 $1-v$ 执行第二种原始测量，并记为“否、第二种的结果”。剩下的概率 $u+v-1$ 什么也不测，直接记为“否、否”。三条分支的概率非负，加起来正好为 $1$。

只读第一份答案，会发现它以概率 $1-u$ 真正测了第一种装置，其他时候一律给“否”——这恰好就是偏置为 $u$ 的改写规则。第二份答案同理。于是，一次随机选择后的测量，确实同时恢复了两种有偏测量的统计。原来那个似乎抽象的阈值，就是“执行两种原始测量的概率加起来不超过一”。

而当 $u+v<1$ 时，格物的研究员证明，总还存在一片体积非零的不相容测量对。这使边界两侧的含义都明确了：它精确地区分“仍有可能不相容”与“必定相容”，而不只是提供一条偏保守的安全线。

边界附近还有更细的区别。在远离两个端点的地方，用 $1-u-v$ 表示偏置之和离边界还差多少，不相容概率会按这个差值的五次方趋近零；若沿坐标轴走向端点，它则按一次方消失。这些是接近边界时的渐近规律，不能套用于整张图。它们说明，即使总概率已经知道，不相容性在测量空间中如何退去，仍有独立的结构。

这项工作给出的比例有清楚的适用范围：量子比特、两种二结果测量，以及指定参数域上的欧氏均匀抽样。换一种抽样方式，概率可以改变。改写输出的单调性和上述共同装置的构造则适用于更高维量子系统；更高维下完整的概率与区域结构，并未由这项研究解决。

所以，比“四分之一少了多少”更值得带走的，是那份共同记录何时可能存在。方向不同会让两种测量提出无法兼得的要求，模糊与偏置又会削弱这些要求。精确计算把这种拉锯变成了一个可核验的比例，而偏置边界进一步告诉我们：抹去多少信息之后，量子测量之间的冲突必定能够被同一份记录容纳。

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研究来源：本次论文，The incompatibility probability of random binary qubit measurements: exact value, fixed-bias phase diagram, and critical laws at the boundary。本文报道数学结果；无新实验数据。有关无偏测量的定义及有噪声自旋测量的共同实现，可参见 Grinko与Uola的原始研究。全部插图为本文原创绘制。