量子关联的另一半，抬高了经典模仿的代价

两份量子实验记录，都以同样的幅度越过了经典理论允许的界限。要用经典模型模仿它们，难度就一定相同吗？一项针对多粒子纠缠的理论研究发现，答案可以是否定的：这里常用的检验只查看一半测量组合，另一半还藏着额外约束。补上这些组合，经典模型有时必须让隐藏信息与测量选择联系得更紧，才能把全部结果复制出来。

这涉及贝尔检验中一个容易退到幕后的条件。设想相隔很远的几个实验站，每站接收一个粒子，各自选择怎样测量，再比较结果。经典解释可以认为，粒子带着某些尚未被观测到的信息，决定了它在各种测量下如何作答。这些信息叫隐藏变量。如果各站只能根据本地的测量选择和隐藏变量作答，而且测量选择与隐藏变量在统计上无关，那么结果之间的关联就不能超过贝尔不等式规定的上限。

量子力学允许超过这个上限的关联。但假如保留“每站只在本地作答”，放松“测量选择与隐藏变量无关”，经典模型便可能重新模仿出量子统计。于是，问题从“能不能模仿”变成了“至少要放松多少独立性”。这里的代价指这种放松程度，不是计算机需要运行多久，也不是设备要花多少钱。

弄清这个最低要求，有助于准确理解一份贝尔检验记录排除了哪些经典解释。一项检验越过经典上限的幅度，未必能完整衡量这种要求。这篇论文中，格物的研究员对一类至少含三个粒子的纠缠系统，求出了复制指定测量全部结果概率的精确最低代价；偶数个粒子的情形尤其清楚地暴露了单一检验分数的局限。

经典模型可以怎样“挑选答案”

把每个实验站的测量限制为两种，记作 $X$ 和 $Y$。它们是量子比特的两种标准测量，对应量子态表示中相互正交的方向；每次输出只有 $+1$ 或 $-1$。四个站各选一种，共有十六种联合设置，例如 $XXXX$ 或 $YXXX$。字母的位置表示站点。

一个局域经典模型可以给每个站预先列好两个答案：选 $X$ 时答什么，选 $Y$ 时答什么。所有站的答案合在一起，就是一张“响应表”。隐藏变量标明使用哪一张表。即使模型原本允许随机作答，也可以把额外随机数装入隐藏变量，因此用这种预设答案的方式描述，并不会漏掉一般的局域模型。

测量独立性要求，每种联合设置遇到各种响应表的概率相同。允许测量依赖后，情况改变了：当设置是 $XXXX$ 时，某些表可以更常出现；换成 $YXXX$，另一些表可以占更大比重。每站依然照自己的表作答，但整群响应表的组成已经与联合设置相关。这个描述只规定统计关系，并不指定这种关系由什么物理机制产生。

怎样衡量两群响应表有多不同？可以问：至少要搬移多少概率，才能把一种分布变成另一种？数学上，这叫总变差距离。比如，某类表在第一种分布中占四成，在第二种分布中占两成，减少的两成全部转到另一类表上，其余不动，那么距离就是 $0.2$。

对一个模型，把所有联合设置两两比较，取最大的总变差距离，论文用 $F$ 表示它。若 $F=0$，一套固定分布就能服务所有设置，测量独立性完全保留。随后还要在所有能够复制目标统计的局域模型中，寻找最小的 $F$，那才是本文所说的最低代价。

这个数不能直接读成“有多少次实验被操纵了”，也不衡量人的自由意志。它有一个更具体的统计含义：挑出使距离达到 $F$ 的两种设置，让它们等概率出现；如果知道隐藏变量，最佳猜测者区分这两种设置的成功率是 $(1+F)/2$。分布相同就无从猜测，分布有差别才提供线索。

一种测量，看见一种相干分量

论文考察的系统来自 GHZ 态。这是以 Greenberger、Horne 和 Zeilinger 命名的一类多粒子纠缠态：把每个量子比特的两个基态称为零和一，理想 GHZ 态就将“所有比特都是零”和“所有比特都是一”相干地叠加起来。

“相干”是这里的关键。如果只是抛硬币，有时准备全零，有时准备全一，两种准备只是在经典概率上混合。相干叠加还保留两种可能性之间的相对相位，这种关系能在合适的测量中产生干涉，改变整体结果的统计。

格物的研究员允许这份相干减弱，也允许相位改变，但量子态仍限制在全零与全一所张成的子空间中。换言之，这是一族明确限定的状态，并不囊括实验室里的所有噪声。

观察这种关系，需要把一次测量中所有站的结果相乘，再对多次实验取平均。这个平均值称为整体关联，记作 $E$：若乘积总是 $+1$，它就是 $+1$；正负乘积一样常见，它就是零。这里的这些量子态有个特点：只取任何一部分站的结果相乘，平均值都为零。差别集中在全部站共同参与的乘积里。

在固定的 $X/Y$ 方向下，完整测量表又分成两半。一半设置包含偶数个 $Y$，另一半包含奇数个 $Y$。两组分别探测相干的两个分量，论文记作 $c_0$ 和 $c_1$，数学上对应相干的实部和虚部。可以把它们理解为同一份相干相对于测量方向的两个分量；只看其中一个，就不能确定另一个。

四粒子时，$XXXX$ 的整体关联是 $c_0$；含两个 $Y$ 的组合是 $-c_0$；$YYYY$ 又回到 $c_0$。奇数组则不同：含一个 $Y$ 的组合测得 $c_1$，含三个 $Y$ 的组合测得 $-c_1$。

本文讨论的偶数组 Mermin 检验，把前一组的关联按这些正负号加起来，与经典上限比较。这样得到的分数只依赖 $c_0$。无论 $c_1$ 怎样改变，偶数组的整张概率表都可以保持原样。因此，遗漏的信息并不只是被平均掉了：这些测量从一开始就没有探测相干的另一分量。

这个问题与已有研究衔接得很紧。Aaron Alai 的工作曾求出理想 GHZ 态在这些偶数组设置中的最低代价，验证到十三个粒子，并提出推广到任意粒子数的规律。格物的研究员证明了这条规律，进一步处理相干减弱的情况，也把奇数组设置纳入同一个优化问题。

相同的记录，不同的最低代价

现在看两种四粒子状态。它们的全零、全一基态占比各为一半，且都有 $c_0=0.8$。第一种的另一分量 $c_1=0$，第二种则为 $c_1=0.4$。两者都是允许的量子态。

只做偶数组测量，两种状态完全无法区分：所有设置下，每一种结果串出现的概率都一样。它们的 Mermin 分数也一样，都是经典上限的 $1.6$ 倍，已经显示出贝尔违背。

但加入奇数组以后，第一种状态的整体关联都为零，第二种却会出现 $+0.4$ 或 $-0.4$ 的整体关联。论文证明，复制第一种状态的完整十六种设置，最小代价为 $0.200$；复制第二种则至少需要 $0.216$，而且确实存在达到这个数的局域模型。

差别虽小，却是精确的。前一种模型已经足以复制一张越过经典上限的偶数组记录，补上后一种状态的奇数组记录，仍然会提出更高要求。

为什么会出现额外代价？看看一张固定响应表受到的约束。把四个站的选择全部对调，$XXXX$ 就变成 $YYYY$，$YXXX$ 则变成 $XYYY$；这样的两种设置互为补充，称为互补设置。

在一张经典响应表上，先算 $XXXX$ 四个答案的乘积，再乘上 $YYYY$ 四个答案的乘积，等于把四个站各自的 $X$、$Y$ 答案全部乘了一遍。改用 $YXXX$ 和 $XYYY$，仍然是这八个答案各乘一遍。因此，对同一张表而言，两对乘积的关系必须一致：要么两对都同号，要么两对都反号。

量子关联的符号排列却给出不同要求。当 $c_0$、$c_1$ 都为正时，$XXXX$ 与 $YYYY$ 的平均关联同为正，$YXXX$ 与 $XYYY$ 的平均关联却一正一负。

当关联不完美时，响应表可以混合，不必让每张表都符合目标的平均符号。可是，同一批表要同时服务两组设置，仍受上述共同结构限制。论文发现，对于偶数个粒子，一旦第二分量足够强，仅仅沿用为第一分量准备的分布变化就可能不够了；不同设置之间的分布必须进一步拉开距离。额外代价来自这个共同要求，而偶数组的 Mermin 分数根本没有改变。

这不是“测得越多，代价总会上升”的普遍规律。图二的平台说明，增加较弱分量起初可能不额外收费。粒子数为奇数时，结果更不一样：在论文限定的状态和测量中，完整代价只由两个分量中绝对值较大的那个决定，较弱分量不再增加代价。此时把所有 $X$ 与 $Y$ 对调，会把奇数组和偶数组互相交换，两组的共同结构随之改变。论文可以先构造两分量同样强的最优模型，再加入与设置无关的随机翻号，只削弱其中一个分量；这既保留局域作答，也不增加分布间的距离。较弱分量因而可以免费获得。

怎样知道已经降到最低

找到一个代价较低的经典模型，只能证明“这样做足够”，不能证明“不能更省”。这篇论文的证据来自两个方向：一边明确构造模型，一边为任何可能的局域模型划出下限，最后让两者相遇。

其中一个简化继承了 Alai 的思路。研究只需先处理响应表对整体乘积的预测，把预测完全相同的表归为一类。这听起来像丢掉了每站的结果，但可以再把它们补回来：在类内均匀随机化，等效于随机翻转偶数个站的答案。这样整体乘积不变，任何非空、又不包含全部站的子集，其乘积都会在随机化后正负抵消。

这恰好恢复了目标量子态的那些为零的部分关联。更关键的是，这种随机化按相同规则施加在各个设置上，不增加总变差距离。因此，复制整体乘积统计所达到的代价，也能复制每一种完整结果串的概率，而不只复制某个汇总分数。

在这个简化基础上，格物的研究员利用响应表与目标符号排列的规则，构造不同的概率混合。对于偶数粒子，他们还比较许多设置对之间的分布差异：经典表若想同时满足两组的关联，分布差异的加权总量就不能太小，而它又不可能超过模型的最大总变差距离。这给出了不可回避的下限。明确构造出的模型恰好达到下限，才使“最低”成为一个证明了的结论。

这里没有对更多粒子做实验，再外推一条趋势。论文的结论是解析的，覆盖任意至少三个粒子；较小系统的数值优化帮助寻找构造，但不承担证明。

这也说明，贝尔违背的幅度与此处的最低代价并不是同一种尺度。以理想、相干分量为 $(1,0)$ 的 GHZ 态为例，偶数组的贝尔分数相对于经典上限的比值会随粒子数指数增长，完整测量的最低代价却始终小于 $1/2$，并逐渐逼近它。更大的违背，不能直接翻译成同比增长的测量依赖。

从精确答案走向实验记录

真实实验未必落在这族 GHZ 状态里，因此也不能拿一个 Mermin 分数直接代入，宣布找到了精确代价。但论文中的一条联合约束可以直接作用于偶数粒子的实测整体关联，不必先把量子态拟合成 GHZ 模型。对于一般数据，它给出的是最低代价的下界；精确等号需要额外条件。

有限的实验次数还会带来统计波动。格物的研究员提出，把奇、偶两组设置按预定概率抽样，每次只记录一个经过符号修正的整体乘积，扣除统计误差后，便能给测量依赖划出有置信保证的下界。设备可以记住过去、随时间漂移，但推断的对象是每次给定既往记录时的依赖程度，再对各次取平均，而非每一次都必须达到同一个最低值。

这个方案还依赖明确的输入生成条件：每组内部如何随机抽取、实际选择概率偏离设计多少，都要受到控制。仅凭最后汇总的设置频率符合预期，并不能保证这些条件逐次成立；输入偏差也可能抬高分数，必须另行校准和扣除。这些是论文提出的理论分析方法，尚不是已完成的实验演示。非正交测量、探测损失，以及其他类型的纠缠态，还需要新的结果。

回到开头的两份记录：它们同样越过经典界限，却没有给经典替代解释提出同样的要求。要知道一个保留局域性的模型究竟要让隐藏信息与测量选择联系得多紧，需要追问它必须复制哪些结果。对于这些多粒子系统，被略去的另一半测量，恰能揭示同一个检验分数背后不同的约束。

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研究来源：Minimal Measurement Dependence Required to Simulate GHZ Correlations，见随文 paper.pdf，主要结果为式（11）—（14），四粒子比较见“Physical consequences”，证明见附录 A—C；有限样本与输入校准见附录 D—F。本文的示意图与理论曲线均为原创程序绘制，源码保存在 sources/。